Exercícios Resolvidos: Problemas Envolvendo Sistema de Equações do Primeiro Grau
Confira questões resolvidas sobre problemas envolvendo sistema de equações do primeiro grau:
Questão 1: [A]
Pela relação fundamental da divisão:
x = 4y + 18 (I)
2x = 5y + 123 (II)
Substituindo a eq. (I) na eq.(II):
2(4y + 18) = 5y +123
8y + 36 = 5y + 123
3y = 87
y = 29
Substituindo y = 29 na eq. (I):
x = 4(29) + 18
x = 116 + 18
x = 134
A diferença entre x e y é: 134 – 29 = 105
y = nº de avestruzes
x + y = 90 (I)
4x + 2y = 260 (II)
Isolando x na eq. (I):
x = 90 - y
Substituindo na eq. (II):
4(90 - y) + 2y = 260
360 - 4y + 2y = 260
- 2y = -100
y = 50 avestruzes
Substituindo o valor de y na eq. (I):
x + 50 = 90
x = 40 ovelhas
Questão 5: [B]
x = nº notas de 5 reais
y = nº de notas de 20 reais
5x + 20y = 240 (Simplificando: x + 4y = 48) (I)
x + y = 30 (II)
Resolvendo (II):
1. (VUNESP) Se x dividido por y dá como quociente 4 e o resto 18, e se o dobro de x é igual ao quíntuplo de y acrescido de 123, a diferença entre x e y é
a) 105.
b) 106.
c) 107.
d) 108.
e) 109.
b) 106.
c) 107.
d) 108.
e) 109.
2. (VUNESP) Numa fazenda há ovelhas e avestruzes, totalizando 90 cabeças e 260 patas. Comparando-se o número de avestruzes com o das ovelhas, pode-se afirmar que há
a) igual número de ovelhas e de avestruzes.
b) dez cabeças a mais de ovelhas.
c) dez cabeças a mais de avestruzes.
d) oito cabeças a mais de ovelhas.
e) oito cabeças a mais de avestruzes.
3. Maria é três anos mais jovem que Jaqueline. Somando a metade da idade de Jaqueline com a terça parte da idade de Maria dá 19 anos. A soma das idades dela é:
a) 21
b) 34
c) 35
d) 41
e) 45
4. (VUNESP-04) Maria tem em sua bolsa R$15,60 em moedas de R$ 0,10 e de R$ 0,25. Dado que o número de moedas de 25 centavos é o dobro do número de moedas de 10 centavos, o total de moedas na bolsa é:
a) 68.
b) 75.
c) 78.
d) 81.
e) 84.
5. (Guarda Civil SP 2010). Marcos pagou sua conta de energia no valor de R$ 240,00 com notas de R$ 5,00 e R$ 20,00. Sabendo que ele usou 30 notas ao todo, quantas notas havia de cada valor?
a) 23 notas de R$ 5,00 e 7 notas de R$ 20,00.
b) 24 notas de R$ 5,00 e 6 notas de R$ 20,00.
c) 22 notas de R$ 5,00 e 8 notas de R$ 20,00.
d) 18 notas de R$ 5,00 e 12 notas de R$ 20,00.
e) 20 notas de R$ 5,00 e 10 notas de R$ 20,00.
6. (PRF 2008 - Cespe) No ano de 2006, um indivíduo pagou R$ 4.000,00 pelas multas de trânsito recebidas, por ter cometido várias vezes um mesmo tipo de infração de trânsito, e o valor de cada uma dessas multas foi superior a R$ 200,00. Em 2007, o valor da multa pela mesma infração sofreu um reajuste de R$ 40,00, e esse mesmo indivíduo recebeu 3 multas a mais que em 2006, pagando um total de R$ 6.720,00.
Nessa situação, em 2006, o valor de cada multa era:
a) inferior a R$ 750,00.
b) superior a R$ 750,00 e inferior a R$ 850,00.
c) superior a R$ 850,00 e inferior a R$ 950,00.
d) superior a R$ 950,00 e inferior a R$ 1.050,00.
e) superior a R$ 1.050,00.
RESPOSTAS:
Questão 1: [A]
Pela relação fundamental da divisão:
x = 4y + 18 (I)
2x = 5y + 123 (II)
Substituindo a eq. (I) na eq.(II):
2(4y + 18) = 5y +123
8y + 36 = 5y + 123
3y = 87
y = 29
Substituindo y = 29 na eq. (I):
x = 4(29) + 18
x = 116 + 18
x = 134
A diferença entre x e y é: 134 – 29 = 105
Questão 2: [C]
x = nº de ovelhasy = nº de avestruzes
x + y = 90 (I)
4x + 2y = 260 (II)
Isolando x na eq. (I):
x = 90 - y
Substituindo na eq. (II):
4(90 - y) + 2y = 260
360 - 4y + 2y = 260
- 2y = -100
y = 50 avestruzes
Substituindo o valor de y na eq. (I):
x + 50 = 90
x = 40 ovelhas
Questão 3: [E]
Questão 4: [C]
x = nº de moedas de R$ 0,10
y = nº de moedas de R$ 0,25
0,10.x + 0,25.y = 15,60 (I)
y = 2.x (II)
Substituindo (II) em (I):
0,10.x + 0,25.(2.x) = 15,60
0.10.x + 0,5 x = 15,60
0,6. x = 15,6
x = 26
Aplicando o valor de x em (II)
y = 2.x
y = 2.26
y = 52
Maria tem 26 moedas de R$ 0,10 e 52 moedas de R$ 0,25.
No total, Maria tem 78 moedas.
Questão 5: [B]
x = nº notas de 5 reais
y = nº de notas de 20 reais
5x + 20y = 240 (Simplificando: x + 4y = 48) (I)
x + y = 30 (II)
Resolvendo (II):
x = 30 - y (III)
Fazendo (III) em (I):
30 - y + 4y = 48
30 - y + 4y = 48
3y = 48-30
y = 18/3
y = 6 notas de 20 reais
De x + y = 30, temos:
De x + y = 30, temos:
x = 30 - y
x = 30 - 6
x = 24 notas de 5 reais
Questão 6: [B]
Chamamos de x o valor de cada multa e de y a quantidade de multas em 2006.
x.y = 4000 (I)
(x + 40).(y + 3) = 6720 (II)
Na equação (I) :
y = 4000/x
Na equação (2):
xy + 3x + 40y + 120 = 6720
xy + 3x + 40y = 6720 – 120
xy + 3x + 40y = 6600
Substituindo (I) em (II):
x(4000/x) + 3x + 40(4000/x) = 6600
4000 + 3x + 160000/x = 6600
3x + 160000/x = 6600 – 4000
3x + 160000/x = 2600 (multiplicando ambos os lados da equação por x)
3x² – 2600x + 160000 = 0
Δ = b² - 4ac
Δ = 6760000 - 4 (3) (160000)
Δ = 6760000 - 1920000
Δ = 4840000
x' = (2600 + 2200)/2(3)
x' = 800
x'' = (2600 - 2200)/2(3)
x '' = 66,66
Temos duas soluções: 800 e 66,66. Porém, só 800 nos serve, pois o problema deixa claro que o valor é superior a 200 reais.
